Serie de Taylor

Brook Taylor (1685-1731)

En 1715 agregaba a las matemáticas una nueva rama llamada ahora “El cálculo de las diferencias finitas”, e invento la integración por partes. Descubrió la célebre formulas conocida como la serie de Taylor.

Taylor también desarrollo los principios fundamentales de la perspectiva (1715).

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama.A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente.

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edinburgo, quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

· Importancia de usar series de Taylor

La serie Taylor tiene una importancia fundamental para el cálculo efectivo de las funciones continuas y destacando para atender aspectos propios de convergencia, es por ello que la Serie de Taylor es un teorema de continuidad, teorema de dos valores medios y los criterios de convergencia de series numéricas. Considerada como una cierta matemática avanzada que tiene como objetivo profundizar en los procesos de convergencia de las series infinitas, acompañado de sus métodos algebraicos.

· Sus aplicaciones

La fórmula (o comportamiento) de este tipo de serie, consiste en una serie de derivadas. Cada elemento de la serie deriva a su elemento anterior en la serie.

Las series de potencias suelen utilizarse en funciones polinómicas con un nivel elevado con un cierto grado de complejidad, para analizar el comportamiento de la función.

En su aplicación está:

a. El análisis de límites y estudios paramétricos de la función.

b. La estimación de números irracionales acotando su error

c. El teorema de L’Hopital para la resolución de limites indeterminados

d. El estudio de puntos estacionarios de funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia creciente o decreciente).

e. La estimación de integrales

f. La determinación de convergencia y suma de algunas series importantes

g. El estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, entre otras cosas.

· Forma matemática básica.

Una función f es analítica en un punto a si se puede representar mediante una serie de potencias en x-a con un radio positivo o infinito de convergencia.

Supongamos que f es cualquier función representable mediante una serie de potencias: