Derivadas

Historia 
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia en el siglo III a. C., pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta diecinueve siglos después en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz.
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:
  • El problema de la tangente a una curva 
  • El Teorema de los extremos: máximos y mínimos
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

Siglo XVII
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.

Newton y Leibniz

A finales del siglo XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por sus predecesores, en lo que hoy llamamos derivada e integral. La historia de la matemática reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibnitz son los creadores del cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para manipular las derivadas  es decir por reglas de derivación  e Isaac Barrow demostró que la derivación y la integración son operadores inversos.

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable  varía con el tiempo.

Gottfried Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

Leibniz es el inventor de diversos símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada dy/dx{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} y el símbolo de la integral .

Conceptos y aplicaciones
Es usado para la definición de cualquier tipo de derivada y para la integral de Riemann, sucesión convergente y suma de una serie y la continuidad. Según Einstein, el mayor aporte que se obtuvo de las derivadas fue la posibilidad de formular diversos problemas de la física mediante ecuaciones diferenciales.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de FísicaQuímica y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Se pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como monotonía de una función  si es creciente o decreciente  y la concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.
Las funciones que son diferenciables derivables si se habla en una sola variable, son aproximables linealmente.

CONCEPTO BASICO

Derivada es un término que puede utilizarse como sustantivo o como adjetivo. En el primer caso, se trata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

El nacimiento y uso de las derivadas en el ámbito matemático, aunque tienen su origen en la Antigua Grecia, podemos establecer que hacen aparición como tal gracias a dos figuras históricas muy importantes: el matemático inglés Isaac Newton y el lógico alemán Gottfried Leibniz.

Y es que los mismos partieron de las teorías y conceptos establecidos por sus antecesores en el tiempo para poder llevar a cabo sus propias aplicaciones y métodos. Así, por ejemplo, Newton descubrió algoritmos, procedió a acometer la reestructuración de lo que son las bases de cálculos y creó su propio método para realizar el cálculo de las tangentes.

Notación

Newton
La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:
{\displaystyle {\dot {x}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=x^{\prime }(t)}{\displaystyle {\ddot {x}}=x^{\prime \prime }(t)}Se lee «punto X {\displaystyle x\,}» o «{\displaystyle x\,} punto X ».Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas que involucran la variable tiempo, como variable independiente; tales como velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se emplea para las primeras y segundas derivadas.

Notación de Leibniz
Otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de F {\displaystyle f\,}, se escribe:
También puede encontrarse como :
Se lee «derivada de Y {\displaystyle y\,} ({\displaystyle f\,} F ó {\displaystyle f\,} F de X {\displaystyle x\,}) con respecto a X {\displaystyle x\,}». Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.

EJEMPLO
La derivada de:

Aquí, el segundo término se calculó usando la regla de la cadena y el tercero usando la regla del producto. La derivadas conocidas de funciones elementales x2x4, sin(x), ln(x) y exp(x) = ex, así como la constante 7, también fueron usadas.




Comentarios

Entradas más populares de este blog