Derivadas
Historia
Los problemas
típicos que dieron origen al cálculo
infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de
la antigua Grecia en
el siglo III a. C., pero no se encontraron métodos sistemáticos de
resolución hasta diecinueve siglos después en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz.
En lo que
atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron
origen:
- El problema de la tangente a una curva
- El Teorema de los extremos: máximos y mínimos
En su conjunto
dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo
diferencial.
Siglo XVII
Los
matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los
infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura
Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron
a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados
del siglo XVII las
cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas
de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al
cálculo diferencial, los otros al integral.
Newton y
Leibniz
A finales del
siglo XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por sus
predecesores, en lo que hoy llamamos derivada
e integral. La historia de la
matemática reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibnitz son los creadores del
cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para manipular las
derivadas es decir por reglas de
derivación e Isaac Barrow demostró
que la derivación y la integración son
operadores inversos.
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665
encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el
descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases
de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el
concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable varía con el tiempo.
Gottfried
Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo
diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera
10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la
derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el
sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva
en dicho punto.
Leibniz es el
inventor de diversos símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo
diferencial y cálculo
integral, así como los símbolos de derivada dy/dx y
el símbolo
de la integral ∫.
Conceptos y
aplicaciones
Es usado para
la definición de cualquier tipo de derivada y para la integral de Riemann,
sucesión convergente y suma de una serie y la continuidad. Según Einstein, el
mayor aporte que se obtuvo de las derivadas fue la posibilidad de formular
diversos problemas de la física mediante ecuaciones diferenciales.
La derivada es
un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde
es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o
situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o
en ciencias sociales como la Economía y
la Sociología. Se
pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de
funciones, tales como monotonía
de una función si es creciente o decreciente y la concavidad o convexidad.
Algunas
funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo,
una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente
vertical, una discontinuidad o
un punto anguloso.
Las funciones
que son diferenciables derivables si se habla en una sola variable, son aproximables
linealmente.
CONCEPTO
BASICO
Derivada es un término que puede utilizarse como
sustantivo o como adjetivo. En el primer caso, se trata de una noción de
la matemática que
nombra al valor límite del vínculo
entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable
independiente.
La derivada,
por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada
también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales
de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de
la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.
El nacimiento
y uso de las derivadas en el ámbito matemático, aunque tienen su origen en la
Antigua Grecia, podemos establecer que hacen aparición como tal gracias a dos
figuras históricas muy importantes: el matemático inglés Isaac Newton y el
lógico alemán Gottfried Leibniz.
Y es que los
mismos partieron de las teorías y conceptos establecidos por sus antecesores en
el tiempo para poder llevar a cabo sus propias aplicaciones y métodos. Así, por
ejemplo, Newton descubrió algoritmos, procedió a acometer la reestructuración
de lo que son las bases de cálculos y creó su propio método para realizar el
cálculo de las tangentes.
Notación
Newton
La notación
de Newton para
la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de
la función:
Se
lee «punto X »
o « punto
X ».Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para
derivadas que involucran la variable tiempo, como variable independiente; tales
como velocidad y aceleración, y
en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente
solo se emplea para las primeras y segundas derivadas.
Notación de
Leibniz
Otra notación
común para la diferenciación es debida a Leibniz.
Para la función derivada de F , se escribe:
También puede encontrarse como :
Se lee
«derivada de Y ( F ó F de X ) con respecto a X ». Esta notación
tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra
como un cociente de diferenciales.
EJEMPLO
La derivada de:
Aquí, el
segundo término se calculó usando la regla
de la cadena y el tercero usando la regla del producto. La derivadas conocidas de
funciones elementales x2, x4,
sin(x), ln(x) y exp(x) = ex, así
como la constante 7, también fueron usadas.
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